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除法（じょほう、）とは、乗法の逆演算であり四則演算のひとつに数えられる二項演算の一種である。除算、割り算とも呼ばれる。 除法は ÷ や /, % といった記号を用いて表される。除算する 2 つの数のうち一方の項を被除数 () と呼び、他方を除数 () と呼ぶ。有理数の除法について、その演算結果は被除数と除数の比を与え、分数を用いて表すことができる。このとき被除数は分子 ()、除数は分母 () に対応する。被除数と除数は、被除数の右側に除数を置いて以下のように表現される。 : ''被除数'' ÷ ''除数'' 除算は商 () と剰余 () の 2 つの数を与え、商と除数の積に剰余を足したものは元の被除数に等しい。 : ''商'' × ''除数'' + ''剰余'' ''被除数'' 剰余は余りとも呼ばれ、除算によって「割り切れない」部分を表す。剰余が 0 である場合、「被除数は除数を割り切れる」と表現され、このとき商と除数の積は被除数に等しい。剰余を具体的に決定する方法にはいくつかあるが、自然数の除法については、剰余は除数より小さくなるように取られる。たとえば、 を で割った余りは 、商は となる。これらの商および剰余を求める最も原始的な方法は、引けるだけ引き算を行うことである。つまり、 を で割る例では、 から を 1 回ずつ引いていき（）、引かれる数が より小さくなるまで引き算を行ったら、その結果を剰余、引き算した回数を商とする。これは自然数の乗法を足し算によって行うことと逆の関係にある。 剰余を与える演算に % などの記号を用いる場合がある。 : ''剰余'' ''被除数'' % ''除数'' 除数が である場合、除数と商の積は必ず になるため商を一意に定めることができない。従ってそのような数 を除数とする除法の商は未定義となる（ゼロ除算を参照）。 有理数やそれを拡張した実数、複素数における除法では、整数や自然数の除法と異なり剰余は用いられず、 : ''商'' × ''除数'' ''被除数'' という関係が除数が 0 の場合を除いて常に成り立つ。この関係は次のようにも表すことができる。 : ''被除数'' ÷ ''除数'' ''商'' 実数などにおける定義から離れると、除法は乗法を持つ代数的構造について「乗法の逆元を掛けること」として一般化することができる。一般の乗法は交換法則が必ずしも成り立たないため、除法も左右 2 通り考えられる。 == 整数の除法 == 整数 と に対して、 : を満たす整数 が唯一つ定まるとき、 によって除算を定める。 は被除数（ひじょすう、）あるいは実（じつ）と呼ばれ、 は除数（じょすう、）あるいは法（ほう、）と呼ばれる。また は を で割った商（しょう、）と呼ばれる。商 は他に「 の を法とする商」「法 に関する商 ()」 などとも言う。 またこのとき、 は で整除（せいじょ）される、割り切れる（わりきれる、）あるいは は を整除する、割り切るなどと表現される。このことはしばしば記号的に と書き表される。 除数 が である場合を考えると、除数 と任意の整数 の積は となり、被除数 が なら任意の整数 が方程式を満たすため、商は一意に定まらない。同様に被除数 が 以外の場合にはどのような整数 も方程式を満たさないため、商は定まらない。 整数の範囲では上述のような整数 が定まる保証はなく、たとえば被除数 が の場合を考えると除数 が のいずれかでない限り商 は整数の範囲で定まらない。整数の範囲で商が必ず定まるようにするには、剰余（じょうよ、）を導入して除法を拡張する必要がある。つまり、方程式 : を満たすような をそれぞれ商と剰余として与える。このような方程式を満たす整数 は複数存在するが（たとえばある に対して と の組は同様に上記の方程式を満たす）、剰余 の取り得る値に制限を与えることで一意に商 と剰余 の組を定めることができる。よく用いられる方法は剰余 を除数 より絶対値が小さな非負の数と定めることである。このような除法はユークリッド除法と呼ばれる。 : かつ これは、感覚的には被除数から除数を引けるだけ引いた残りを剰余と定めているということである。こうして定められる剰余はしばしば「 の を法とする剰余」「 の法 に関する剰余 () 」などと言い表される。 剰余 が でないことはしばしば「 は で割り切れない」と表現され、記号的に と表される。 ユークリッド除法による計算例は以下の通りである。以下では除数を , 被除数を としている。 :：商 , 剰余 :：商 , 剰余 :：商 , 剰余 :：商 , 剰余 他の剰余に対する制限の方法として、剰余の絶対値が最小となるように商を定める方法がある。この方法では、 : あるいは : の範囲に剰余 が含まれる。この場合、ユークリッド除法と異なり は負の値を取り得る。このようにして定められる剰余を絶対値最小剰余 と呼ぶ。 絶対値最小剰余を用いる場合の計算例は以下の通りである。以下では除数を , 被除数を としている。 :：商 , 剰余 :：商 , 剰余 :：商 , 剰余 :：商 , 剰余 :：商 , 剰余 :：商 , 剰余 :：商 , 剰余 :：商 , 剰余 いずれの方法であっても、除数 が の場合、剰余 は でなければならず、被除数 がどのような数であっても商 を一意に定めることはできない。 絶対値最小剰余とユークリッド除法によって定められる最小非負剰余、あるいは別の方法のいずれを用いるかは自由であり、与えられる剰余がそのいずれかであるかは予め決められた規約に従う。この規約は、計算する対象や計算機の機種、あるいはプログラミング言語により、まちまちである。簡単な分析とサーベイが という文献にまとめられている〔Division and Modulus for Computer Scientists （PDF、2013年11月13日閲覧）〕。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「除法」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Division (mathematics) 」があります。 スポンサード リンク
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